1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 - 版本历史

Admin：/* 空间中直线、平面的垂直 */

2024-04-20T14:04:16Z

空间中直线、平面的垂直

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第11行：		第11行：
	* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.		* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.
	===空间中直线、平面的垂直===		===空间中直线、平面的垂直===
	* 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\~~parallel~~ l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\~~parallel~~\vec{u_2}\Leftrightarrow~~\exist\lambda\in R,使得~~\vec{u_1}=\~~lambda~~\vec{u_2}$		* 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\perp l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\perp\vec{u_2}\Leftrightarrow\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$
	* 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$~~的法向量，~~$l\~~not\subset\alpha$，则$l\parallel~~\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\~~perp~~\vec{n}\Leftrightarrow\vec{u}\~~cdot~~\vec{n}=0$		* 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，则$l\perp\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\parallel\vec{n}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{u}=\lambda\vec{n}$
	* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\~~parallel~~\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\~~parallel~~\vec{n_2}\Leftrightarrow~~\exist\lambda\in R，使得~~\vec{n_1}=\~~lambda~~\vec{n_2}$.		* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\perp\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\perp\vec{n_2}\Leftrightarrow\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

2024年4月20日 (六) 13:49 Admin

2024-04-20T13:49:59Z

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第11行：		第11行：
	* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.		* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.
	===空间中直线、平面的垂直===		===空间中直线、平面的垂直===
			* 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\parallel\vec{u_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R,使得\vec{u_1}=\lambda\vec{u_2}$
			* 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{n}=0$
			* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.
	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

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2024-04-20T13:48:19Z

知识要点

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第1行：		第1行：
	[[1.4 空间向量的应用]]		[[1.4 空间向量的应用]]
	==知识要点==		==知识要点==
	===1.空间中点、直线和平面的向量表示===		===空间中点、直线和平面的向量表示===
	* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.		* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.
	* 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.		* 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.
	* 取定空间中任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.		* 取定空间中任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.
	* 直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$\vec{a}$，我们称向量$\vec{a}$为平面$\alpha$的法向量. 给定一个点$A$和一个向量$\vec{a}$，那么过点$A$且以向量$\vec{a}$为法向量的平面完全确定，可以表示成集合$\{P\|\vec{a}\cdot\overrightarrow{AP}=0\}$.		* 直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$\vec{a}$，我们称向量$\vec{a}$为平面$\alpha$的法向量. 给定一个点$A$和一个向量$\vec{a}$，那么过点$A$且以向量$\vec{a}$为法向量的平面完全确定，可以表示成集合$\{P\|\vec{a}\cdot\overrightarrow{AP}=0\}$.
	===2.空间中直线、平面的平行===		===空间中直线、平面的平行===
	* 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\parallel\vec{u_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R,使得\vec{u_1}=\lambda\vec{u_2}$		* 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\parallel\vec{u_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R,使得\vec{u_1}=\lambda\vec{u_2}$
	* 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{n}=0$		* 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{n}=0$
	* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.		* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.
	===3.空间中直线、平面的垂直===		===空间中直线、平面的垂直===

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-20T13:47:34Z

知识要点

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第1行：		第1行：
	[[1.4 空间向量的应用]]		[[1.4 空间向量的应用]]
	==知识要点==		==知识要点==
			===1.空间中点、直线和平面的向量表示===
	* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.		* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.
	* 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.		* 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.
	* 取定空间中任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.		* 取定空间中任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.
	* 直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$\vec{a}$，我们称向量$\vec{a}$为平面$\alpha$的法向量.		* 直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$\vec{a}$，我们称向量$\vec{a}$为平面$\alpha$的法向量. 给定一个点$A$和一个向量$\vec{a}$，那么过点$A$且以向量$\vec{a}$为法向量的平面完全确定，可以表示成集合$\{P\|\vec{a}\cdot\overrightarrow{AP}=0\}$.
			===2.空间中直线、平面的平行===
			* 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\parallel\vec{u_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R,使得\vec{u_1}=\lambda\vec{u_2}$
			* 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{n}=0$
			* 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.
			===3.空间中直线、平面的垂直===

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

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2024-04-20T13:26:50Z

知识要点

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第2行：		第2行：
	==知识要点==		==知识要点==
	* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.		* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.
	* ~~空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.~~ 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.		* 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.
			* 取定空间中任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.
			* 直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$\vec{a}$，我们称向量$\vec{a}$为平面$\alpha$的法向量.

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

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知识要点

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第1行：		第1行：
	[[1.4 空间向量的应用]]		[[1.4 空间向量的应用]]
	==知识要点==		==知识要点==
			* 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.
			* 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

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[[1.4 空间向量的应用]]
==知识要点==
==例题==
==练习==

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 - 版本历史

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2024年4月20日 (六) 13:49 Admin

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