6.2.4 向量的数量积 - 版本历史

Admin：/* 运算性质 */

2024-04-21T11:47:00Z

运算性质

←上一版本		2024年4月21日 (日) 19:47的版本
第24行：		第24行：
	（4）$\|\vec{a}\cdot\vec{b}\|\leqslant\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$.		（4）$\|\vec{a}\cdot\vec{b}\|\leqslant\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$.
	===运算性质===		===运算性质===
			对于向量$\vec{a}.\vec{b},\vec{c}$和实数$\lambda$，有

			（1）$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$

			（2）$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})$

			（3）$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-21T11:40:53Z

知识要点

←上一版本		2024年4月21日 (日) 19:40的版本
第1行：		第1行：
	[[6.2 平面向量的运算]]		[[6.2 平面向量的运算]]
	==知识要点==		==知识要点==
	* 向量的夹角		===向量的夹角===
	已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角.		已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角.

第7行：		第7行：

	如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.		如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.
	* 数量积		===数量积===
	已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.		已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.
	* 投影向量		===投影向量===
	已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{b}$，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\vec{a}$向向量$\vec{b}$投影，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影向量.		已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{b}$，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\vec{a}$向向量$\vec{b}$投影，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影向量.

	$\overrightarrow{A_1B_1}=\|\vec{a}\|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}$		$\overrightarrow{A_1B_1}=\|\vec{a}\|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}$
	* 重要结论		===重要结论===
	设$\vec{a},\vec{b}$是非零向量，它们的夹角为$\theta$，$\vec{e}$是与$\vec{b}$方向相同的单位向量，则		设$\vec{a},\vec{b}$是非零向量，它们的夹角为$\theta$，$\vec{e}$是与$\vec{b}$方向相同的单位向量，则

第23行：		第23行：

	（4）$\|\vec{a}\cdot\vec{b}\|\leqslant\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$.		（4）$\|\vec{a}\cdot\vec{b}\|\leqslant\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$.
			===运算性质===

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-20T03:04:07Z

知识要点

←上一版本		2024年4月20日 (六) 11:04的版本
第17行：		第17行：

	（1）$\vec{a}\cdot\vec{e}=\vec{e}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|\cos\theta$		（1）$\vec{a}\cdot\vec{e}=\vec{e}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|\cos\theta$

			（2）$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

			（3）当$\vec{a}$与$\vec{b}$同向时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$；当$\vec{a}$与$\vec{b}$反向时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=-\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$. 特别地，$\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=\|\vec{a}\|^2$.

			（4）$\|\vec{a}\cdot\vec{b}\|\leqslant\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|$.

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-20T02:55:59Z

知识要点

←上一版本		2024年4月20日 (六) 10:55的版本
第13行：		第13行：

	$\overrightarrow{A_1B_1}=\|\vec{a}\|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}$		$\overrightarrow{A_1B_1}=\|\vec{a}\|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}$
			* 重要结论
			设$\vec{a},\vec{b}$是非零向量，它们的夹角为$\theta$，$\vec{e}$是与$\vec{b}$方向相同的单位向量，则

			（1）$\vec{a}\cdot\vec{e}=\vec{e}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|\cos\theta$

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-20T02:50:33Z

知识要点

←上一版本		2024年4月20日 (六) 10:50的版本
第9行：		第9行：
	* 数量积		* 数量积
	已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.		已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.
			* 投影向量
			已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{b}$，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\vec{a}$向向量$\vec{b}$投影，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影向量.

			$\overrightarrow{A_1B_1}=\|\vec{a}\|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}$

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-19T23:50:58Z

知识要点

←上一版本		2024年4月20日 (六) 07:50的版本
第7行：		第7行：

	如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.		如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.
			* 数量积
			已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-19T01:58:43Z

知识要点

←上一版本		2024年4月19日 (五) 09:58的版本
第1行：		第1行：
	[[6.2 平面向量的运算]]		[[6.2 平面向量的运算]]
	==知识要点==		==知识要点==
	* 定义		* 向量的夹角
	$\~~lambda~~\vec{a}$		已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角.

			显然，当$\theta=0$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$同向；当$\theta=\pi$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$反向.

			如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：/* 知识要点 */

2024-04-19T01:47:05Z

知识要点

←上一版本		2024年4月19日 (五) 09:47的版本
第1行：		第1行：
	[[6.2 平面向量的运算]]		[[6.2 平面向量的运算]]
	==知识要点==		==知识要点==
			* 定义
			$\lambda\vec{a}$

	==例题==		==例题==
	==练习==		==练习==

Admin：创建页面，内容为“6.2 平面向量的运算 ==知识要点== ==例题== ==练习==”

2024-04-18T23:42:01Z

创建页面，内容为“6.2 平面向量的运算 ==知识要点== ==例题== ==练习==”

新页面

[[6.2 平面向量的运算]]
==知识要点==
==例题==
==练习==

6.2.4 向量的数量积 - 版本历史

Admin：​/* 运算性质 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​/* 知识要点 */

Admin：​创建页面，内容为“6.2 平面向量的运算 ==知识要点== ==例题== ==练习==”

Admin：/* 运算性质 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：/* 知识要点 */

Admin：创建页面，内容为“6.2 平面向量的运算 ==知识要点== ==例题== ==练习==”