1.3.2 空间向量运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

知识要点

• 法则

设$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则

$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$

$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$

$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

• 重要结论

（1）一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

（2）当$\vec{b}\neq\vec{0}$时，$\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\vec{b}\Leftrightarrow a_1=\lambda b_1,a_2=\lambda b_2,a_3=\lambda b_3(\lambda\in R)$

（3）$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$

（4）$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

（5）$\cos<\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

（6）设$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$是空间中任意两点，则$P_1P_2=|\overrightarrow{P_1P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.