6.3.2 二项式系数的性质：修订间差异
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1. 对称性 | |||
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上，这一性质可直接由$C_n^m=C_n^{n-m}$得到. | |||
直线$r=\dfrac{n}{2}$将函数$f(r)=C_n^r$的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. | |||
2. 增减性与最大值 | |||
当$k<\dfrac{n+1}{2}$时，$C_n^k$随$k$的增加而增大；当$k>\dfrac{n+1}{2}$时，$C_n^k$随$k$的增加而减小. 当$n$为偶数时，中间的一项$C_n^\frac{n}{2}$取得最大值；当$n$为奇数时，中间的两项$C_n^\frac{n-1}{2}$与$C_n^\frac{n+1}{2}$，相等，且同时取得最大值. | |||
3. 各项系数的和 | |||
$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n$ | |||
$C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots=2^{n-1}$ | |||
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2024年7月27日 (六) 09:57的最新版本
知识点
1. 对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上，这一性质可直接由$C_n^m=C_n^{n-m}$得到.
直线$r=\dfrac{n}{2}$将函数$f(r)=C_n^r$的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2. 增减性与最大值
当$k<\dfrac{n+1}{2}$时，$C_n^k$随$k$的增加而增大；当$k>\dfrac{n+1}{2}$时，$C_n^k$随$k$的增加而减小. 当$n$为偶数时，中间的一项$C_n^\frac{n}{2}$取得最大值；当$n$为奇数时，中间的两项$C_n^\frac{n-1}{2}$与$C_n^\frac{n+1}{2}$，相等，且同时取得最大值.
3. 各项系数的和
$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n$
$C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots=2^{n-1}$
