5.2.1 三角函数的概念

5.2 三角函数的概念

知识要点

• 设$\alpha$是一个任意角，$\alpha\in R$，它的终边与单位圆相交于点$P(x,y)$.

（1）把点$P$的纵坐标$y$叫做角$\alpha$的正弦函数，记作$\sin\alpha$，即$y=\sin\alpha$；

（2）把点$P$的横坐标$x$叫做角$\alpha$的余弦函数，记作$\cos\alpha$，即$x=\cos\alpha$；

（3）把点$P$的纵坐标与横坐标的比值$\dfrac{y}{x}$叫做角$\alpha$的正切函数，记作$\tan\alpha$，即$\dfrac{y}{x}=\tan\alpha(x\neq0)$.

我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数 $y=\sin x,x\in R$；

余弦函数 $y=\cos x,x\in R$；

正切函数 $y=\tan x,x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$.

• 三角函数的符号：

一象限都为正，二象限正弦为正，三象限正切为正，四象限余弦为正.

• 公式一

$\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

$\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

$\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

即：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

例题

例2 如图5.2-4，设$\alpha$是一个任意角，它的终边上任意一点$P$（不与原点生命）的坐标为$(x,y$，点$P$与圆点的距离为$r$. 求证：$\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$.