0501 三角函数基础

知识要点

任意角

• 所有与角$\alpha$终边相同的角，连同角$\alpha$在内，可构成一个集合$$S=\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot360^\circ,k\in Z\},$$即任一与角$\alpha$终边相同的角，都可以表示成角$\alpha$与整数个周角的和.

弧度制

• $180^\circ=\pi\quad rad$
• 关于扇形的公式：

（1）$l=\alpha R$

（2）$S=\dfrac{1}{2}\alpha R^2$

（3）$S=\dfrac{1}{2}lR$

其中，$R$是圆的半径，$\alpha(0<\alpha<2\pi)$为圆心角，$l$是扇形的弧长，$S$是扇形的面积.

三角函数的概念

• 设$\alpha$是一个任意角，$\alpha\in R$，它的终边与单位圆相交于点$P(x,y)$.

（1）把点$P$的纵坐标$y$叫做角$\alpha$的正弦函数，记作$\sin\alpha$，即$y=\sin\alpha$；

（2）把点$P$的横坐标$x$叫做角$\alpha$的余弦函数，记作$\cos\alpha$，即$x=\cos\alpha$；

（3）把点$P$的纵坐标与横坐标的比值$\dfrac{y}{x}$叫做角$\alpha$的正切函数，记作$\tan\alpha$，即$\dfrac{y}{x}=\tan\alpha(x\neq0)$.

我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数 $y=\sin x,x\in R$；

余弦函数 $y=\cos x,x\in R$；

正切函数 $y=\tan x,x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$.

• 三角函数的符号：

一象限都为正，二象限正弦为正，三象限正切为正，四象限余弦为正.

• 公式一

$\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

$\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

$\sin(\alpha+k\cdot2\pi)=\sin\alpha$

即：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

• 设$\alpha$是一个任意角，它的终边上任意一点$P$（不与原点生命）的坐标为$(x,y$，点$P$与圆点的距离为$r$. 则：$\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$.

同角三角函数的基本关系

• 同一个角$\alpha$的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角$\alpha$的正切.

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$

诱导公式

• 公式二

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$

$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$

• 公式三

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$

• 公式四

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

• 公式五

$\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$

$\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$

• 公式六

$\sin(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$

$\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$