6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

知识要点

• 法则

已知$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，则

$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$

即：两个向量的数量积等于它们对应的坐标乘积的和.

• 重要结论

（1）若$\vec{a}=(x,y)$，则$|\vec{a}|^2=x^2+y^2$，或$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

如果表示向量$\vec{a}$的有向线段的起点和终点的坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则

$\vec{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

$|\vec{a}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

（2）已知$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，则

$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$

• 向量的夹角

已知$\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，$\theta$是$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角，则

$\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$