1.3.2 空间向量运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

知识要点

• 法则

设$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则

$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$

$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$

$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

• 重要结论

（1）当$\vec{b}\neq\vec{0}$时，$\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\vec{b}\Leftrightarrow a_1=\lambda b_1,a_2=\lambda b_2,a_3=\lambda b_3(\lambda\in R)$

（2）$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$

（3）$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

（4）$\cos<\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$

（5）设$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$是