1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.4 空间向量的应用

知识要点

空间中点、直线和平面的向量表示

• 在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\overrightarrow{OP}$来表示. 我们把向量$\overrightarrow{OP}$称为点$P$的位置向量.
• 取定空间中任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$AB$上的充要条件是存在实数$t$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}$.
• 取定空间中任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$.
• 直线$l\perp\alpha$，取直线$l$的方向向量$\vec{a}$，我们称向量$\vec{a}$为平面$\alpha$的法向量. 给定一个点$A$和一个向量$\vec{a}$，那么过点$A$且以向量$\vec{a}$为法向量的平面完全确定，可以表示成集合$\{P|\vec{a}\cdot\overrightarrow{AP}=0\}$.

空间中直线、平面的平行

• 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\parallel\vec{u_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R,使得\vec{u_1}=\lambda\vec{u_2}$
• 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，$l\not\subset\alpha$，则$l\parallel\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{n}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{n}=0$
• 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\parallel\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{n_1}=\lambda\vec{n_2}$.

空间中直线、平面的垂直

• 设$\vec{u_1},\vec{u_2}$分别是直线$l_1,l_2$的方向向量，则$l_1\perp l_2\Leftrightarrow\vec{u_1}\perp\vec{u_2}\Leftrightarrow\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$
• 设$\vec{u}$是直线$l$的方向向量，$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，则$l\perp\alpha\Leftrightarrow\vec{u}\parallel\vec{n}\Leftrightarrow\exist\lambda\in R，使得\vec{u}=\lambda\vec{n}$
• 设$\vec{n_1},\vec{n_2}$分别是平面$\alpha,\beta$的法向量，则$\alpha\perp\beta\Leftrightarrow\vec{n_1}\perp\vec{n_2}\Leftrightarrow\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.