1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

1.4 空间向量的应用

知识要点

点到直线的距离

已知直线$l$的单位方向向量为$\vec{u}$，$A$是直线$l$上的定点，设$\overrightarrow{AP}=\vec{a}$，$P$是直线$l$外一点，则点$P$到直线$l$的距离为$$PQ=\sqrt{\vec{a}^2-(\vec{a}\cdot\vec{u})^2}$$

点到平面的距离

已知平面$\alpha$的法向量为$\vec{n}$，$A$是平面$\alpha$内的定点，$P$是平面$\alpha$外一点，则点$P$到平面$\alpha$的距离为$$PQ=\dfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

直线与直线的夹角

若异面直线$l_1,l_2$所成的角为$\theta$，其方向向量分别是$\vec{u},\vec{v}$，则$$\cos\theta=|\cos<\vec{u},\vec{v}>|=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

直线与平面所成的角

直线$AB$与平面$\alpha$相交于点$B$，设直线$AB$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$，直线$AB$的方向向量为$\vec{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\vec{n}$，则$$\sin\theta=|\cos<\vec{u},\vec{n}>|=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$$

平面与平面的夹角

若平面$\alpha,\beta$所成的角为$\theta$，其法向量分别是$\vec{n_1},\vec{n_2}$，则$$\cos\theta=|\cos<\vec{n_1},\vec{n_2}>|=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$