6.2.4 向量的数量积

6.2 平面向量的运算

知识要点

向量的夹角

已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角.

显然，当$\theta=0$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$同向；当$\theta=\pi$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$反向.

如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.

数量积

已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.

投影向量

已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{b}$，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\vec{a}$向向量$\vec{b}$投影，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影向量.

$\overrightarrow{A_1B_1}=|\vec{a}|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$

重要结论

设$\vec{a},\vec{b}$是非零向量，它们的夹角为$\theta$，$\vec{e}$是与$\vec{b}$方向相同的单位向量，则

（1）$\vec{a}\cdot\vec{e}=\vec{e}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|\cos\theta$

（2）$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

（3）当$\vec{a}$与$\vec{b}$同向时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$；当$\vec{a}$与$\vec{b}$反向时，$\vec{a}\cdot\vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$. 特别地，$\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$.

（4）$|\vec{a}\cdot\vec{b}|\leqslant|\vec{a}||\vec{b}|$.

运算性质

对于向量$\vec{a}.\vec{b},\vec{c}$和实数$\lambda$，有

（1）$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$

（2）$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})$

（3）$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$