1.4.2 充要条件：修订间差异
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如果“若$p$，则$q$”和它的逆命题“若$q$，则$p$”均为真命题，即既有$p\Rightarrow q$，又有$q\Rightarrow p$，就记作$p\Leftrightarrow q$. 此时，$p$既是$q$的充分条件，也是$q$的必要条件，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$也是$p$的充分必要条件，即互为充要条件. | |||
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==例题== | ==例题== | ||
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下列各题中，哪些$p$是$q$的充要条件？ | |||
（1）$p$：四边形是正方形，$q$：四边形的对角线垂直且平分； | |||
（2）$p$：两个三角形相似，$q$：两个三角形三边成比例； | |||
（3）$p$：$xy>0$，$q$：$x>0,y>0$； | |||
（4）$p$：$x=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，$q$：$a+b+c=0(a\neq0)$. | |||
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已知：$\bigodot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$. 求证：$d=r$是直线$l$与$\bigodot O$相切的充要条件. | |||
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2024年7月7日 (日) 11:15的最新版本
知识要点
如果“若$p$，则$q$”和它的逆命题“若$q$，则$p$”均为真命题，即既有$p\Rightarrow q$，又有$q\Rightarrow p$，就记作$p\Leftrightarrow q$. 此时，$p$既是$q$的充分条件，也是$q$的必要条件，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$也是$p$的充分必要条件，即互为充要条件.
例题
例3
下列各题中，哪些$p$是$q$的充要条件？
（1）$p$：四边形是正方形，$q$：四边形的对角线垂直且平分；
（2）$p$：两个三角形相似，$q$：两个三角形三边成比例；
（3）$p$：$xy>0$，$q$：$x>0,y>0$；
（4）$p$：$x=1$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，$q$：$a+b+c=0(a\neq0)$.
例4
已知：$\bigodot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$. 求证：$d=r$是直线$l$与$\bigodot O$相切的充要条件.
