3.2.1 单调性与最大（小）值：修订间差异
（→例2） |
（→例题） |
||
| （未显示同一用户的7个中间版本） | |||
| 第17行： | 第17行： | ||
那么，我们称$M$是函数$y=f(x)$的最大值. | 那么，我们称$M$是函数$y=f(x)$的最大值. | ||
[[/ | [[/01321|视频讲解]] | ||
==例题== | ==例题== | ||
===例1=== | ===例1=== | ||
根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq0)$的单调性. | 根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq0)$的单调性. | ||
[[/013210001|视频讲解]] | [[/013210001|视频讲解]] | ||
| 第51行： | 第27行： | ||
===例2=== | ===例2=== | ||
物理学中的玻意耳定律$p=\dfrac{k}{V}$（$k$为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积$V$减小时，压强$p$将增大. 试对此用函数的单调性证明. | 物理学中的玻意耳定律$p=\dfrac{k}{V}$（$k$为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积$V$减小时，压强$p$将增大. 试对此用函数的单调性证明. | ||
[[/013210002|视频讲解]] | [[/013210002|视频讲解]] | ||
| 第90行： | 第43行： | ||
===例5=== | ===例5=== | ||
已知函数$f(x)=\dfrac{2}{x-1}(x\in[2,6]$，求函数的最大值和最小值. | 已知函数$f(x)=\dfrac{2}{x-1}(x\in[2,6])$，求函数的最大值和最小值. | ||
[[/013210005|视频讲解]] | [[/013210005|视频讲解]] | ||
==练习== | ==练习== | ||
2024年7月14日 (日) 14:35的最新版本
知识点
一般地，设函数$f(x)$的定义域为$I$，区间$D\subseteq I$：
如果$\forall x_1,x_2\in D$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$，那么就称函数在区间$D$上单调递增，特别地，当函数$f(x)$在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果$\forall x_1,x_2\in D$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)>f(x_2)$，那么就称函数在区间$D$上单调递减，特别地，当函数$f(x)$在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
如果函数$y=f(x)$在区间$D$上单调递增或单调递减，那么就说函数$y=f(x)$在这一区间具有（严格的）单调性，区间$D$叫做$y=f(x)$的单调区间.
一般地，设函数$y=f(x)$的定义域为$I$，如果存在实数$M$满足：
（1）$\forall x\in I$，都有$f(x)\leqslant M$；
（2）$\exists x_0\in I$，使得$f(x_0)=M$.
那么，我们称$M$是函数$y=f(x)$的最大值.
例题
例1
根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq0)$的单调性.
例2
物理学中的玻意耳定律$p=\dfrac{k}{V}$（$k$为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积$V$减小时，压强$p$将增大. 试对此用函数的单调性证明.
例3
根据定义证明函数$y=x+\dfrac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增.
练习
例题
例4
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度$h$（单位：m）与时间$t$（单位：s）之间的关系为$h(t)=-4.9t^2+14.7t+18$，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时间？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
例5
已知函数$f(x)=\dfrac{2}{x-1}(x\in[2,6])$，求函数的最大值和最小值.
