7.1.1 条件概率

7.1 条件概率与全概率公式

知识要点

• 条件概率

一般地，设$A$，$B$为两个随机事件，且$P(A)>0$，我们称$$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$$为事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的条件概率，简称条件概率.

• 概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件$A$与$B$，若$P(A)>0$，则$$P(AB)=P(A)P(B|A)$$ 我们称上式为概率的乘法公式.

导入

问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表7.1-1所示.

在班级里随机选择一人做代表.

（1）选到男生的概率是多少？

（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？

问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么

（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

例题

例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽取1道题，抽出的题不再放回. 求：

（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？

例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成. 某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字. 求：

（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.

练习

1.设$A\subseteq B$，且$P(A)=0.3$，$P(B)=0.6$. 根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出$P(B|A)$和$P(A|B)$的值，再由条件概率公式进行验证.

答案

2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回. 已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.

答案

3.袋子中有10个大小相同的球，其中7个白球，3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求：

（1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；

（2）两次都摸到白球的概率.

答案