1101 空间向量及其运算

例题

1、2020新高考Ⅰ,20

如图，四棱锥$P-ABCD$的底面为正方形，$PD\perp$底面$ABCD$. 设平面$PAD$与平面$PBC$的交线为$l$.

（1）证明：$l\perp$平面$PDC$；

（2）已知$PD=AD=1$，$Q$为$l$上的点，求$PB$与平面$QCD$所成角的正弦值的最大值.

2、2022新高考Ⅱ,20

如图，$PO$是三棱锥$P-ABC$的高，$PA=PB$，$AB\perp AC$，$E$为$PB$的中点.

（1）证明：$OE\parallel$平面$PAC$；

（2）若$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$，$PO=3$，$PA=5$，求二面角$C-AE-B$的正弦值.

练习

1、2021新高考Ⅱ，10

（多选）如图，下列各正方体中，$O$为下底面的中心，$M,N$为正方体的顶点 ，$P$为所在棱的中点，则满足$MN\perp OP$的是$(\qquad)$

2、2022全国甲，7

在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，已知$B_1D$与平面$ABCD$和平面$AA_1B_1B$所成的角均为$30^\circ$，则$(\qquad)$

A. $AB=2AD$

B. $AB$与平面$AB_1C_1D$所成的角为$30^\circ$

C. $AC=CB_1$

D. $B_1D$与平面$BB_1C_1C$所成的角为$45^\circ$

3、2023北京，16

如图，在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$PA=AB=BC=1$，$PC=\sqrt{3}$.

（1）求证：$BC\perp$平面$PAB$；

（2）求二面角$A-PC-B$的大小.

4、2023新课标Ⅱ，20

如图，三棱锥$A-BCD$中，$DA=DB=DC$，$BD\perp CD$，$\angle ADB=\angle ADC=60^\circ$，$E$为$BC$的中点.

（1）证明：$BC\perp DA$；

（2）点$F$满足$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}$，求二面角$D-AB-F$的正弦值.