1102 空间向量的应用

例题

1、2023新高考Ⅰ,18

如图，在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$AA_1=4$，点$A_2,B_2,C_2,D_2$分别在棱$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$上，$AA_2=1,BB_2=DD_2=2,CC_2=3$.

（1）证明：$B_2C_2\parallel A_2D_2$；

（2）点$P$在棱$BB_1$上，当二面角$P-A_2C_2-D_2$为$150^\circ$时，求$B_2P$.

2、2022新高考Ⅰ，19

如图，直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的体积为$4$，$\triangle A_1BC$的面积为$2\sqrt{2}$.

（1）求$A$到平面$A_1BC$的距离；

（2）设$D$为$A_1C$的中点，$AA_1=AB$，平面$A_1BC\perp$平面$ABB_1A_1$，求二面角$A-BD-C$的正弦值.

练习

1、2023全国乙理，9

（多选）如图，下列各正方体中，$O$为下底面的中心，$M,N$为正方体的顶点 ，$P$为所在棱的中点，则满足$MN\perp OP$的是$(\qquad)$

2、2022新高考Ⅰ，9

（多选）已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，则$(\qquad)$

A. 直线$BC_1$与$DA_1$所成的角为$90^\circ$

B. 直线$BC_1$与$CA_1$所成的角为$90^\circ$

C. 直线$BC_1$与平面$BB_1D_1D$所成的角为$45^\circ$

D. 直线$BC_1$与平面$ABCD$所成的角为$45^\circ$

3、2022全国乙理，18

如图，四面体$ABCD$中，$AD\perp CD$，$AD=CD$，$\angle ADB=\angle BDC$，$E$为$AC$的中点.

（1）求证：平面$BED\perp$平面$ACD$；

（2）设$AB=BD=2$，$\angle ACB=60^\circ$，点$F$在$BD$上，当$\triangle AFC$的面积最小时，求$CF$与平面$ABD$所成的角的正弦值.

4、2021全国甲理，19

如图，已知直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，侧面$AA_1B_1B$为正方形，$AB=BC=2$，$E,F$分别为$AC$和$CC_1$的中点，$D$为棱$A_1B_1$上的点，$BF\perp A_1B_1$.

（1）证明：$BF\perp DE$；

（2）当$B_1D$为何值时，面$BB_1C_1C$与面$DFE$所成的二面角的正弦值最小？