1.4.2 充要条件

1.4 充分条件与必要条件

知识要点

如果“若$p$，则$q$”和它的逆命题“若$q$，则$p$”均为真命题，即既有$p\Rightarrow q$，又有$q\Rightarrow p$，就记作$p\Leftrightarrow q$. 此时，$p$既是$q$的充分条件，也是$q$的必要条件，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$也是$p$的充分必要条件，即互为充要条件.

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例题

例1

下列各题中，哪些$p$是$q$的充要条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

（4）若$x^2=1$，则$x=1$;

（5）若$a=b$，则$ac=bc$；

（6）若$x,y$为无理数，则$xy$为无理数.

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例2

下列“若$p$，则$q$”形式的命题中，哪些命题中的$q$是$p$的必要条件？

（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

（2）若两三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；

（4）若$x=1$，则$x^2=1$;

（5）若$ac=bc$，则$a=b$；

（6）若$xy$为无理数，则$x,y$为无理数.

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