3.2.1 单调性与最大（小）值

3.2 函数的基本性质

知识点

一般地，设函数$f(x)$的定义域为$I$，区间$D\subseteq I$：

如果$\forall x_1,x_2\in D$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$，那么就称函数在区间$D$上单调递增，特别地，当函数$f(x)$在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果$\forall x_1,x_2\in D$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)>f(x_2)$，那么就称函数在区间$D$上单调递减，特别地，当函数$f(x)$在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果函数$y=f(x)$在区间$D$上单调递增或单调递减，那么就说函数$y=f(x)$在这一区间具有（严格的）单调性，区间$D$叫做$y=f(x)$的单调区间.

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例题

例1

根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq0)$的单调性.

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例2

物理学中的玻意耳定律$p=\dfrac{k}{V}$（$k$为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积$V$减小时，压强$p$将增大. 试对此用函数的单调性证明.

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例3

根据定义证明函数$y=x+\dfrac{1}{x}$在区间$(1,+\infty)$上单调递增.

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例题

例4

根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq0)$的单调性.

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例5

根据定义，研究函数$f(x)=kx+b(k\neq0)$的单调性.

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