3.1.1 函数的概念

3.1 函数的概念及其表示

知识点

• 一般地，设$A,B$是非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f:A\rightarrow B$为从集合$A$到集合$B$的一个函数，记作：$y=f(x),x\in A$. 其中，$x$叫做自变量，$x$的取值范围$A$叫做函数的定义域，与$x$的值相对应的$y$的值叫做函数值，函数值的集合$\{f(x)|x\in A\}$叫做函数的值域，值域是集合$B$的子集.
• 设$a,b$是两个实数，而且$a<b$. 规定：

（1）满足不等式$a\leqslant x\leqslant b$的实数$x$的集合叫做闭区间，表示为$[a,b]$；

（2）满足不等式$a<x<b$的实数$x$的集合叫做开区间，表示为$(a,b)$；

（3）满足不等式$a\leqslant x<b$或$a<x\leqslant b$的实数$x$的集合叫做半开半闭区间，分别表示为$[a,b),(a,b]$.

（4）实数集$R$可用区间表示为$(-\infty,+\infty)$，满足$x\geqslant a,x>a,x\leqslant b,x<b$的实数的集合，可以用区间分别表示为$[a,+\infty),(a,+\infty),(-\infty,b],(-\infty,b)$.

视频讲解

例题

例1

函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个变量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数$y=kx(k\neq0)$可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等等.

试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式$y=x(10-x)$来表示.

视频讲解

例题

例2

已知函数$f(x)=\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{x+2}$，

（1）求函数的定义域；

（2）求$f(-3)$，$f(\dfrac{2}{3})$的值；

（3）当$a>0$时，求$f(a),f(a-1)$的值.

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例3

下列函数中哪个与$y=x$是同一个函数：

（1）$y=(\sqrt{x})^2$；

（2）$u=\sqrt[3]{v^3}$；

（3）$y=\sqrt{x^2}$；

（4）$m=\dfrac{n^2}{n}$.

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练习

已知\(\vec{e_1}, \vec{e_2}\)是两个不共线的向量，给定向量： - \(AB = \vec{e_1} + k\vec{e_2}\) - \(BC = 5\vec{e_1} + 4\vec{e_2}\) - \(DC = -\vec{e_1} - 2\vec{e_2}\)

并且A、B、D三点共线，求实数\(k\)的值。

1. **设定点的位置向量**：

  - 设A为原点，即A的位置向量为\(\vec{0}\)。
  - B的位置向量为\(\vec{e_1} + k\vec{e_2}\)。
  - C的位置向量由B加上BC得到：\(B + BC = (6\vec{e_1} + (k + 4)\vec{e_2})\)。
  - D的位置向量由C减去DC得到：\(C - DC = 7\vec{e_1} + (k + 6)\vec{e_2}\)。

2. **确定D的位置向量**：

  - D的位置向量为\(7\vec{e_1} + (k + 6)\vec{e_2}\)。

3. **利用三点共线条件**：

  - 向量AD = D的位置向量 - A的位置向量 = \(7\vec{e_1} + (k + 6)\vec{e_2}\)。
  - 向量AB = \(\vec{e_1} + k\vec{e_2}\)。

4. **共线性条件**：

  - 存在实数\(t\)使得\(AD = t \cdot AB\)，即：
    \[
    7\vec{e_1} + (k + 6)\vec{e_2} = t(\vec{e_1} + k\vec{e_2})
    \]
  - 分解得到方程组：
    \[
    \begin{cases}
    7 = t \\
    k + 6 = t \cdot k
    \end{cases}
    \]
  - 解得：\(t = 7\)，代入第二个方程得\(k + 6 = 7k\)，解得\(k = 1\)。

5. **验证**：

  - 当\(k = 1\)时，B的位置向量为\(\vec{e_1} + \vec{e_2}\)，D的位置向量为\(7\vec{e_1} + 7\vec{e_2}\)，显然A、B、D共线。

最终答案为： \[ \boxed{1} \]