1102 空间向量的应用

例题

1、2021全国甲理，19

如图，已知直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，侧面$AA_1B_1B$为正方形，$AB=BC=2$，$E,F$分别为$AC$和$CC_1$的中点，$D$为棱$A_1B_1$上的点，$BF\perp A_1B_1$.

（1）证明：$BF\perp DE$；

（2）当$B_1D$为何值时，面$BB_1C_1C$与面$DFE$所成的二面角的正弦值最小？

答案 视频讲解

4、2022全国乙理，18

如图，四面体$ABCD$中，$AD\perp CD$，$AD=CD$，$\angle ADB=\angle BDC$，$E$为$AC$的中点.

（1）求证：平面$BED\perp$平面$ACD$；

（2）设$AB=BD=2$，$\angle ACB=60^\circ$，点$F$在$BD$上，当$\triangle AFC$的面积最小时，求$CF$与平面$ABD$所成的角的正弦值.

答案 视频讲解

练习

1、2023全国乙理，9

已知$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AB$为斜边，$\triangle ABD$为等边三角形. 若二面角$C-AB-D$为$150^\circ$，则直线$CD$与平面$ABC$所成角的正切值为$(\qquad)$.

A. $\dfrac{1}{5}\qquad$B. $\dfrac{\sqrt{2}}{5}\qquad$C.$\dfrac{\sqrt{3}}{5}\qquad$D. $\dfrac{2}{5}\qquad$

2、2022新高考Ⅰ，9

（多选）已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，则$(\qquad)$

A. 直线$BC_1$与$DA_1$所成的角为$90^\circ$

B. 直线$BC_1$与$CA_1$所成的角为$90^\circ$

C. 直线$BC_1$与平面$BB_1D_1D$所成的角为$45^\circ$

D. 直线$BC_1$与平面$ABCD$所成的角为$45^\circ$

3、2023新高考Ⅰ，18

如图，在正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$AA_1=4$，点$A_2,B_2,C_2,D_2$分别在棱$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1$上，$AA_2=1,BB_2=DD_2=2,CC_2=3$.

（1）证明：$B_2C_2\parallel A_2D_2$；

（2）点$P$在棱$BB_1$上，当二面角$P-A_2C_2-D_2$为$150^\circ$时，求$B_2P$.

答案

4、2023新课标Ⅱ，20

如图，三棱锥$A-BCD$中，$DA=DB=DC$，$BD\perp CD$，$\angle ADB=\angle ADC=60^\circ$，$E$为$BC$的中点.

（1）证明：$BC\perp DA$；

（2）点$F$满足$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}$，求二面角$D-AB-F$的正弦值.

答案