1.2 集合间的基本关系

知识要点

• 一般地，对于两个集合$A,B$，如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素，就称集合$A$为集合$B$的子集，记作$A\subseteq B$或$B\supseteq A$，读作“$A$包含于$B$”或“$B$包含$A$”.

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

• 一般地，如果集合$A$的任何一个元素都是集合$B$中的元素，同时集合$B$的任何一个元素都是集合$A$的元素，那么集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$，也就是说，若$A\subseteq B$，且$B\subseteq A$，则$A=B$.

• 如果集合$A\subseteq B$，但存在元素$x\in B$，且$x\notin A$，就称集合$A$是集合$B$的真子集，记作$A\subsetneqq B$或$B\supsetneqq A$，读作“$A$真包含于$B$”或“$B$真包含$A$”.

• 一般地，我们把不包含任何元素的集合叫做空集，记为$\varnothing$，并规定：空集是任何集合的子集.

• 重要结论：

（1）任何一个集合是它本身的子集，即$A\subseteq A$；

（2）对于集合$A,B,C$，如果$A\subseteq B$，且$B\subseteq C$，那么$A\subseteq C$.

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例题

例1

写出集合$\{a,b\}$的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

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例2

判断下列各题中集合$A$是否为集合$B$的子集，并说明理由：

（1）$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|x是8的约数\}$；

（2）$A=\{x|x是长方形\}$，$B=\{x|x是两条对角线相等的平行四边形\}$.

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