2.2 基本不等式

知识点

如果$a>0,b>0$，那么$\sqrt{ab}\leqslant\dfrac{a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时，等号成立.

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例题

例1

已知$x>0$，求$x+\dfrac{1}{x}$的最小值.

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例2

已知$x,y$都是正数，求证：

（1）如果$xy$等于定值$P$，那么当$x=y$时，和$x+y$有最小值$2\sqrt{P}$；

（2）如果$x+y$等于定值$S$，那么当$x=y$时，积$xy$有最大值$\dfrac{1}{4}S^2$.

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例题

例3

（1）用篱笆围一个面积为100$m^2$的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为36$m$的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

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例4

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800$m^3$，深为3$m$，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

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