7.1.2 全概率公式

7.1 条件概率与全概率公式

知识要点

• 全概率公式

一般地，设$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_n$是一组两两互斥的事件，$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega$，且$P(A_i)>0$，$i=1,2,\cdots,n$，则对任意的事件$B\subseteq\Omega$，有$$P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$$ 我们称上面的公式为全概率公式.

• 贝叶斯公式

设$A_1$，$A_2$，$\cdots$，$A_n$是一组两两互斥的事件，$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega$，且$P(A_i)>0$，$i=1,2,\cdots,n$，则对任意的事件$B\subseteq\Omega$，$P(B)>0$，有$$P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{\displaystyle\sum_{k=1}^nP(A_k)P(B|A_k)},i=1,2,\cdots,n$$

例题

例4 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为$0.6$；如果第1天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为$0.8$. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.

例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为$6\%$，第2，3台加工的次品率均为$5\%$，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的$25\%,30\%,45\%$.

（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，计算它是第$i(i=1,2,3)$台车床加工的概率.

例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.

（1）分别求接收的信号为0和1的概率；

（2）已知接受的信号为0，求发送的信号是1的概率.

练习

1. 现有12道四选一的单选题，学生线君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.

答案

2. 两批同种规格的产品，第一批占$40\%$，次品率为5%