1.1.1 空间向量及其线性运算

1.1 空间向量及其运算

知识要点

• 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 空间向量用字母$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\cdots$表示.

• 空间向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模. 向量$\vec{a}$的起点为$A$，终点为$B$，则向量$\vec{a}$也可以记作$\overrightarrow{AB}$.
• 长度为0的向量叫做零向量，记作$\vec{0}$. 当有向线段的起点$A$和终点$B$重合时，$\overrightarrow{AB}=\vec{0}$. 模为1的向量叫做单位向量，与向量$\vec{a}$长度相等方向相反的向量，叫做$\vec{a}$的相反向量，记作$-\vec{a}$.
• 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 零向量与任意的向量平行. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量.
• 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.
• 如果表示向量$\vec{a}$的有向线段$\overrightarrow{OA}$所在的直线$OA$与直线$l$平行或重合，那么称向量$\vec{a}$平行于直线，与$l$平行的向量又叫直线$l$的方向向量. 如果直线$OA$平行于平面$\alpha$或在平面$\alpha$内，那么称向量$\vec{a}$平行于平面$\alpha$. 平行于同一平面的向量，叫做共面向量.
• 对任意两个空间向量$\vec{a},\vec{b}(\vec{b}\neq\vec{0})$，$\vec{a}\parallel\vec{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\vec{a}=\lambda\vec{b}$.
• 如果两个向量$\vec{a},\vec{b}$不共线，那么向量$\vec{p}$与向量$\vec{a},\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$.