1.1.2 空间向量的数量积运算

1.1 空间向量及其运算

知识要点

• 已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，在空间任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，作$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB$叫做向量$\vec{a},\vec{b}$的夹角，记作$<\vec{a},\vec{b}>$. 如果$<\vec{a},\vec{b}>=\dfrac{\pi}{2}$，那么向量$<\vec{a},\vec{b}>$互相垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.
• 已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，则$|\vec{a}||\vec{b}|\cos<\vec{a},\vec{b}>$叫做$\vec{a},\vec{b}$的数量积，记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos<\vec{a},\vec{b}>$$特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
• $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2=\vec{a}^2$
• 向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上投影向量$\vec{c}=|\vec{a}|\cos<\vec{a},\vec{b}>\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$
• 空间向量的数量积满足如下的运算律：

$(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}),\lambda\in R$；

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$;

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$