7.2 离散型随机变量及其分布列

知识要点

• 随机变量

一般地，对于随机试验样本空间$\Omega$中的每个样本点$\omega$，都有唯一的实数$X(\omega)$与之对应，我们称$X$为随机变量. 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.

• 概率分布列

一般地，设离散型随机变量$X$的可能取值为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，我们称$X$取每一个值$x_i$的概率$$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,\cdots,n$$为$X$的概率分布列，简称分布列.

根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：

（1）$p_i\geqslant0,i=1,2,\cdots,n$；

（2）$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$.

• 两点分布

对于只有两个可能结果的随机试验，用$A$表示“成功”，$\bar{A}$表示“失败”，定义$$X=\begin{cases}1，A发生，\\0，\bar{A}发生.\end{cases}$$ 如果$P(A)=p$，则$P(\bar{A})=1-p$，那么$X$的分布列如表7.2-3所示：

我们称$X$服从两点分布或0-1分布.

例题

例1 一批产品中次品率为$5\%$，随机抽取1件，定义$$X=\begin{cases}1,&抽到次品,\\0,&抽到正品.\end{cases}$$求$X$的分布列.

例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每天个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.

从这200名学生中任取1人，求所选同学分数$X$的分布列，以及$P(X\geqslant4)$.

例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. 如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.