6.2.3 向量的数乘运算

6.2 平面向量的运算

知识要点

• 定义

一般地，我们规定实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$\lambda\vec{a}$，它的长度与方向规定如下：

（1）|$\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|$；

（2）当$\lambda>0$时，$\lambda\vec{a}$的方向与$\vec{a}$的方向相同；当$\lambda<0$时，$\lambda\vec{a}$的方向与$\vec{a}$的方向相反.

特别地，当$\lambda=0$时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$；$(-1)\vec{a}=-\vec{a}$.

• 运算性质

（1）$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$；

（2）$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$；

（3）$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$

特别地，$(-\lambda)\vec{a}=-(\lambda\vec{a}=\lambda(-\vec{a})$，$\lambda(\vec{a}-\vec{b})=\lambda\vec{a}-\lambda{b}$

• 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是向量.
• 向量$\vec{a}(\vec{a}\neq\vec{0}$与$\vec{b}$共线的充要条件是：存在唯一一个实数$\lambda$，使$\vec{b}=\lambda\vec{a}$.