1.1 集合的概念

知识要点

• 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.

给定的集合，它的元素必须是确定的；一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的；只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

我们通常用大写拉丁字母$A,B,C,\cdots$表示集合，用小写拉丁字母$a,b,c,\cdots$表示集合中的元素.

如果$a$是集合$A$的元素，就说$a$属于集合$A$，记作$a\in A$；如果$a$不是集合$A$的元素，就说$a$不属于集合$A$，记作$a\not\in A$.

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作$N$；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作$N^*$或$N_+$；全体整数组成的集合称为整数集，记作$Z$；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作$Q$；全体实数组成的集合称为实数集，记作$R$.

• 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“$\{\}$”括起来表示集合的方法叫做列举法.
• 一般地，设$A$是一个集合，我们把集合$A$中所有具有共同特征$P(x)$的元素$x$所组成的集合表示为$\{x\in A|P(x)\}$，这种表示集合的方法叫做描述法.

我们约定，如果从上下文的关系看，$x\in R,x\in Z$是明确的，那么$x\in R,x\in Z$可以省略，只写元素$x$，例如，集合$D=\{x\in R|x<10\}$也可表示为$D=\{x|x<10\}$；集合$E=\{x\in Z|x=2k+1,k\in Z\}$也可表示为$E=\{x|x=2k+1,k\in Z\}$

视频讲解

例题

例1

用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程$x^2=x$的所有实数根组成的集合.

视频讲解

例2

试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程$x^2-2=0$的所有实数根组成的集合$A$;

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合$B$.

视频讲解