3.3 幂函数

知识要点

• 一般地，函数$y=x^\alpha$叫做幂函数，其中$x$为自变量，$\alpha$为常数.

对于幂函数，我们只研究$\alpha=1,2,3,\dfrac{1}{2},-1$时的情形.

• 幂函数的性质

（1）函数$y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^\frac{1}{2}$和$y=x^{-1}$的图象都经过点$(1,1)$；

（2）函数$y=x,y=x^3,y=x^{-1}$是奇函数，函数$y=x^2$是偶函数；

（3）在区间$(0,+\infty)$上，函数$y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^\frac{1}{2}$单调递增，函数$y=x^{-1}$单调递减;

（4）在第一象限内，函数$y=x^{-1}$的图象向上与$y$轴无限接近，向右与$x$轴无限接近.

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例题

例

证明幂函数$f(x)=\sqrt{x}$是增函数.

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