6.2.4 向量的数量积
知识要点
- 向量的夹角
已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角.
显然，当$\theta=0$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$同向；当$\theta=\pi$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$反向.
如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\dfrac{\pi}{2}$，我们是$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，记作$\vec{a}\perp\vec{b}$.
- 数量积
已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，规定，零向量与任一向量的数量积为0.
- 投影向量
已知两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\vec{b}$，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\vec{a}$向向量$\vec{b}$投影，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影向量.
$\overrightarrow{A_1B_1}=|\vec{a}|\cos\theta\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$
- 重要结论
设$\vec{a},\vec{b}$是非零向量，它们的夹角为$\theta$，$\vec{e}$是与$\vec{b}$方向相同的单位向量，则
（1）$\vec{a}\cdot\vec{e}=\vec{e}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|\cos\theta$
