1.5.1 全称量词与存在量词

1.5 全称量词与存在量词

知识要点

• 短语“所有的”“任意一个”在逻辑上通常叫做全称量词，并用符号“$\forall$”表示. 含有全称量词的命题叫做全称量词命题.

通常，将含有变量$x$的语句用$p(x),q(x),r(x),\cdots$表示，变量$x$的取值范围用$M$表示. 那么，全称量词命题“对$M$中的任意一个$x$，$p(x)$成立”可用符号简记为$\forall x\in M,p(x)$.

• 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，并用符号“$\exists$”表示. 含有存在量词的命题叫做存在量词命题.

存在量词命题“存在$M$中元素$x$，$p(x)$成立”可用符号简记为$\exists x\in M,p(x)$.

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例题

例1

判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）$\forall x\in R,|x|+1\geqslant1$；

（3）对任意一个无理数$x$，$x^2$也是无理数.

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例2

判断下列存在量词命题的真假：

（1）有一个实数$x$，使$x^2+2x+3=0$；

（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

（3）有些平行四边形是菱形.

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